Yerel Oynaklık

bilgi

Bu sayfa Dupire yerel oynaklık modelini ele alır. Modelin oynaklık yüzeyi sürecine nasıl oturduğuna dair bağlam için Yüzeyler Nasıl Oluşturulur sayfasına bakın. Diğer yöntemlerle karşılaştırma için İnterpolasyon Yöntemleri sayfasına bakın.

Yerel oynaklık, dayanak varlığın belirli bir fiyat seviyesinde ve belirli bir zaman noktasındaki anlık oynaklığıdır. Bir difüzyon modeline yerleştirildiğinde gözlemlenen tüm Avrupa tipi opsiyon fiyatlarını tam olarak yeniden üreten $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$ fonksiyonudur.

Bu fikir Bruno Dupire (1994) ile Derman & Kani (1994) tarafından birbirinden bağımsız olarak geliştirilmiştir. Herhangi bir ek varsayım gerektirmeden tüm zımni oynaklık yüzeyiyle eşleşen tek modeldir.

Zımni Oynaklık ve Yerel Oynaklık

Temel kavrayış şudur: zımni oynaklık, vade sonuna giden yol boyunca yerel oynaklıkların harmanlanmış bir ortalamasıdır. Yerel oynaklık ise anlık, "noktasal" oynaklıktır.

Zımni Oynaklık vs. Yerel Oynaklık

Hisse senedi/kripto piyasalarına özgü tipik smile. Yerel oynaklık, zımni oynaklıktan daha yüksek ve daha sivridir.

Yerel oynaklık (düz çizgi) her zaman zımni oynaklıktan (kesikli çizgi) daha sivridir. Zımni oynaklık, patika boyunca yerel oynaklıkların ağırlıklı ortalamasıdır.

Smile şekilleri arasında geçiş yapın ve şunlara dikkat edin:

• Yerel oynaklık her zaman daha sivridir. Zımni oynaklık yol boyunca ortalama aldığı için uç değerleri yumuşatır. Yerel oynaklık ise ham, ortalaması alınmamış tabloyu gösterir.
• Daha dik zımni skew, daha çarpıcı yerel oynaklık demektir. Dik skew senaryosunda (kriz), yerel oynaklık sol kanatta ıraksar. Model burada şunu söyler: "Spot bu kadar düşerse, gözlemlenen put opsiyonu fiyatlarıyla eşleşmek için anlık oynaklığın çok yüksek olması gerekir."
• İlişki, spot faiz oranları ile forward faiz oranları arasındaki ilişkiye benzer. Zımni oynaklık spot orandır (bugünden vadeye kadar ortalama). Yerel oynaklık ise forward orandır (gelecekteki bir noktadaki anlık oran).

Yerel Oynaklık Ne Anlama Gelir

Dayanak varlık fiyatının bir oynaklık arazisi içinde ilerlediğini düşünün. (fiyat, zaman) uzayındaki her noktada belirli bir oynaklık vardır. Dayanak varlık hareket ettikçe farklı anlık oynaklıklarla karşılaşır.

%50 zımni oynaklığa sahip 30 günlük bir ATM opsiyon, yolu boyunca %40 ile %65 arasında değişen yerel oynaklıklardan geçebilir. %50'lik zımni oynaklık, her seviyede geçirilen süreye göre ağırlıklandırılmış bu yerel oynaklıkların tamamı üzerinden alınan risk nötr ortalamadır.

Bu nedenle, farklı kullanım fiyatlarına sahip iki opsiyon aynı dayanak süreçe bağlı olsalar bile farklı zımni oynaklıklara sahip olabilir: yerel oynaklık arazisinin farklı bölgelerinden geçerler.

Yerel Oynaklık Ne Zaman Kullanılır

Egzotik opsiyon fiyatlaması

Yerel oynaklığın birincil kullanım alanı budur. İş akışı:

1. Piyasada Avrupa tipi opsiyon fiyatlarını (veya zımni oynaklıkları) gözlemleyin
2. Arbitrajsız bir zımni oynaklık yüzeyi oturtun (SVI, SSVI veya benzeri yöntemlerle)
3. Dupire formülüyle yerel oynaklık yüzeyini türetin
4. Yerel oynaklık yüzeyini kullanan sayısal bir fiyatlama motoru (sonlu farklar PDE veya Monte Carlo) kurun
5. Dayanak varlığı yerel oynaklık arazisi içinde ilerleterek egzotik opsiyonu fiyatlayın

Garanti: yerel oynaklık altında fiyatlanan her egzotik opsiyon, gözlemlenen tüm Avrupa tipi opsiyon fiyatlarıyla tutarlıdır. Bariyer opsiyon fiyatınız vanilla opsiyonlarla çelişmez, bu da hedge açısından önemlidir.

Yüzeyle tutarlı Greek'ler

Yerel oynaklık altında hesaplanan Greek'ler, spot hareket ettikçe oynaklığın da değiştiğini hesaba katar. Yerel oynaklık altındaki delta, Black-Scholes deltasından farklıdır çünkü model farklı bir spot seviyesine geçmenin farklı bir yerel oynaklıkla karşılaşmak anlamına geldiğini "bilir". Bu, kavramsal olarak Taleb'in "gölge gama" (shadow gamma) dediği şeye benzer: spot hareket ettiği için oynaklığın değişmesinden kaynaklanan ek delta değişimi.

Dinamik Sorunu

Yerel oynaklığın iyi bilinen bir zayıflığı vardır: yanlış smile dinamikleri öngörür.

Yerel oynaklık altında oynaklık, spotun deterministik bir fonksiyonudur. Spotun nerede olduğunu bildiğiniz anda oynaklığın tam olarak ne olduğunu da bilirsiniz. Oynaklıkta "sürpriz" yoktur. Bunun anlamı şudur:

• Spot düştüğünde, yerel oynaklık bu fiyatta oynaklığın zaten bu kadar yüksek olacağını söyler. Smile düzleşir.
• Pratikte ise spot düştüğünde oynaklık çoğu zaman yerel oynaklığın öngördüğünden daha fazla artar ve smile dikleşir.

Sonuç: yerel oynaklık, gelecekteki smile şekline bağlı opsiyonları (bariyer opsiyonlar, ileri başlangıçlı opsiyonlar, cliquet'ler) sistematik olarak düşük fiyatlar.

Yerel Oynaklık ve Diğer Modeller

	Yerel Oynaklık	SVI	SABR
Nedir	Her (S, t) noktasındaki anlık oynaklık	Parametrik smile şekli	Stokastik oynaklık modeli
Gözlemlenebilir mi?	Hayır (türetilir)	Hayır (oturtulur)	Hayır (oturtulur)
Tam kalibrasyon	Evet (yapısı gereği)	Yaklaşık	Yaklaşık
Smile dinamikleri	Yanlış (deterministik)	Tanımlanmamış	Daha iyi (stokastik)
Egzotik fiyatlama	Evet (birincil kullanım)	Hayır	Sınırlı
Hız	Yavaş (PDE/MC)	Hızlı	Hızlı (formül)
En uygun olduğu alan	Bariyer, Asya tipi, egzotikler	Vanilla fiyatlama, risk	Swaption'lar, FX vanilla

Diğer Modellerle Bağlantı

Zımni oynaklıktan yerel oynaklığa: Dupire formülü. Girdi olarak arbitrajsız bir zımni yüzey gerektirir.

Yerel oynaklıktan zımni oynaklığa: Yerel oynaklık yüzeyi altında ileri yönlü bir PDE çalıştırın, Avrupa tipi opsiyonları fiyatlayın ve zımni oynaklıkları elde etmek için tersine çevirin. Bu gidiş-dönüş, yapısı gereği tam olarak tutarlıdır.

SABR ve yerel oynaklık: SABR'ın $\beta$ parametresi yerel oynaklık omurgasını kontrol eder (mutlak oynaklık $\sim F^\beta$, dolayısıyla yüzdesel oynaklık $\sigma_{\text{loc}} \sim F^{\beta - 1}$), $\nu$ ise üzerine stokastik bir katman ekler. SABR, ek dinamiklere sahip yerel oynaklığın parametrik bir yaklaşımı olarak görülebilir.

SVI ve yerel oynaklık: SVI size zımni yüzeyi verir. Ardından Dupire size yerel oynaklığı verir. Zincir şöyledir: piyasa kotasyonları -> SVI fit -> zımni yüzey -> Dupire -> yerel oynaklık -> egzotik fiyatlayıcı.

Matematiksel sezgi geliştirmek

Yerel oynaklığı sıfırdan öğreninEtkileşimli ders · Dupire formülünü kapsar

Yukarıdaki etkileşimli ders, Dupire yerel oynaklık modelini temel ilkelerden ele alır: zımni oynaklığın neden yerel oynaklıkların yola göre ağırlıklandırılmış bir ortalaması olduğu, Dupire formülünün gözlemlenen fiyatlardan yerel oynaklığı nasıl çıkardığı, zımni oynaklık smile'ı ile yerel oynaklık yüzeyi arasındaki ilişki ve yerel oynaklığın yola bağlı egzotik opsiyonların fiyatlanmasında neden önemli olduğu.

Açık kaynak uygulamalar

Repo	Neden incelenmeli
QuantLib	FD fiyatlama motoruyla Dupire yerel oynaklığı
OpenGamma Strata	Piyasa verisinden yerel oynaklık yüzeyi oluşturma
RustQuant	Rust ile yerel oynaklık fiyatlaması

---

Ayrıca bakınız:

• SVI Parametrizasyonu - Zımni yüzeyi oluşturmak için kullanılan model
• SABR Modeli - Stokastik oynaklık alternatifi
• İnterpolasyon Yöntemleri - Tüm yöntemlerin karşılaştırması
• Yüzeyler Nasıl Oluşturulur - Sürecin tamamı