Bachelier (Normal) Modeli

Bachelier (1900), ilk opsiyon fiyatlama modelidir ve Black-Scholes modelinden 73 yıl öncesine dayanır. Fiyat değişimleri toplamsaldır ve normal dağılıma sahiptir. Bachelier, yüzdesel getirileri (lognormal) modellemek yerine dolar cinsinden değişimleri (normal) modeller. Fiyat negatife düşebilir. Bu, hisse senetleri için bir hata, faiz oranları içinse bir özelliktir.

Modelin tam olarak tek bir parametresi vardır: mutlak terimlerle ölçülen normal oynaklık (örneğin "%30/yıl" yerine "$50/yıl"). Smile yoktur. Dünya Bachelier'e göre işleseydi, tüm kullanım fiyatlarındaki her opsiyon aynı normal oynaklığa sahip olurdu. Bu düz smile, modelin temel öngörüsüdür.

💡

Skew bir model artefaktı olabilir

Bachelier, yapısı gereği düz bir smile üretir. Bu fiyatları Black-Scholes zımni oynaklığına dönüştürdüğünüzde bir skew elde edersiniz. Bu skew piyasada yoktur. Normal olabilecek bir dünyaya lognormal matematiği zorla uygulamanın bir sonucudur.

Modeli İnceleyin

Düz mavi kesikli çizgi Bachelier'in bakış açısıdır: tüm kullanım fiyatları için tek bir oynaklık. Yeşil eğri, aynı opsiyon fiyatlarının Black-Scholes terimleriyle yeniden ifade edilmiş halini gösterir. Spot fiyatı düşürün ve görünen BS skew değerinin dikleştiğini izleyin. Oysa Bachelier dünyasında hiçbir şey değişmemiştir.

Bachelier vs Black-Scholes Keşif Aracı

Tipik kurulum. Bachelier gülümsemesi tanım gereği düzdür. Aynı fiyatlar BS cinsinden yeniden ifade edildiğinde skew oluşur.

Normal oynaklık20

$/yıl cinsinden mutlak oynaklık (yüzde değil)

Spot fiyat (S)100

Daha düşük spot = daha belirgin BS skew

Düz mavi kesikli çizgi Bachelier'in bakışıdır: tüm kullanım fiyatları için tek bir oynaklık. Yeşil eğri, aynı opsiyon fiyatlarının Black-Scholes cinsinden yeniden ifade edilmiş hâlidir. "Skew" bir modelleme yapaylığıdır, piyasa özelliği değildir.

Her parametre ne yapar

• Normal oynaklık: Tek parametredir. Yıllık mutlak fiyat birimiyle ölçülür (yüzde değil). 20'lik bir normal oynaklık, fiyatın bir yıl içinde $20 hareket etmesinin beklendiği anlamına gelir (bir standart sapma). Tüm kullanım fiyatları bu aynı oynaklığı alır, yani smile düzdür.
• Spot fiyat: Bachelier smile'ını değiştirmez (hâlâ düzdür). Ancak BS karşılığı smile'ı dramatik biçimde etkiler. Daha düşük spot fiyatlarda aynı dolar hareketi daha büyük bir yüzdesel harekete karşılık gelir; bu yüzden BS zımni oynaklığı yükselir ve görünürde bir put skew oluşur.

BS "skew"i neden ortaya çıkar

Ne olur

Bachelier bakışı

BS bakışı

ATM opsiyon fiyatlaması

Normal oynaklık doğrudan uygulanır

Lognormal oynaklık yaklaşık olarak normal_vol / spot

OTM put (düşük kullanım fiyatı)

ATM ile aynı oynaklık

Daha yüksek IV, çünkü aynı $ hareketi düşük fiyatta daha büyük % hareket demektir

OTM call (yüksek kullanım fiyatı)

ATM ile aynı oynaklık

Daha düşük IV, çünkü aynı $ hareketi yüksek fiyatta daha küçük % hareket demektir

Spot fiyatı düşürün

Smile düz kalır

Tüm eğri yukarı kayar, put kanadı dikleşir

ℹ️

SABR'ın beta parametresi omurgayı belirler

SABR'ın omurgası (vol-of-vol kapalıyken oluşan smile) beta'ya bağlıdır. Beta = 0: Bachelier. Beta = 1: Black-Scholes. Beta, normal ile lognormal arasındaki yelpazede nerede durduğunuzu seçer.

Bachelier Nerede Kullanılır

Piyasa

Neden Bachelier

Normal oynaklık birimi

Faiz oranı swaption’ları

EUR, JPY, CHF faizleri negatife düştü. BS sıfırda çöker. Bachelier çökmez.

bps/yıl (örn. 50 bps)

Spread opsiyonları

Spread’ler negatif olabilir. Toplamsal model doğaldır.

$/yıl veya bps/yıl

CDS opsiyonları

Kredi spread’leri doğal olarak toplamsal hareketlerle modellenir.

bps/yıl

Kripto (niş)

Dayanak varlığın negatife düşebildiği fonlama oranı opsiyonları veya baz opsiyonları.

%/yıl (mutlak)

⚠️

Kripto spot opsiyonları için değil

Kripto spot fiyatları pozitiftir ve kaldıraç etkileri gösterir (fiyat düştüğünde oynaklık yükselir). Burada lognormal çerçeve (Black-Scholes ailesi) daha doğaldır. Bachelier; faizler, spread'ler ve negatife düşebilen her şey için doğru araçtır.

Bir Bakışta Bachelier ve Black-Scholes

Bachelier

Black-Scholes

Fiyat dinamikleri

Toplamsal (normal)

Çarpımsal (lognormal)

Oynaklık birimi

$/yıl (mutlak)

%/yıl (göreli)

Negatif fiyatlar?

Evet (tasarım gereği)

Hayır (negatif sayının logaritması tanımsızdır)

Smile şekli

Tanım gereği düz

Yalnızca dünya gerçekten lognormal ise düz

Parametreler

1 (normal oynaklık)

1 (lognormal oynaklık)

Dönüşüm

σ_n ≈ σ_BS × S (ATM yakınında)

σ_BS ≈ σ_n / S (ATM yakınında)

Kullanım alanı

Faizler, spread’ler, CDS

Hisse senetleri, FX, kripto spot

Dönüşüm formülü

ATM yakınında ikisi arasında dönüşüm yapabilirsiniz:

$$\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S$$

%30 BS oynaklığına sahip $100'lık bir hisse senedi, kabaca$30'lık normal oynaklığa sahiptir. Ancak bu yaklaşım ATM'den uzaklaştıkça bozulur. Bachelier fiyatlarını dönüştürdüğünüzde BS "smile"ının ortaya çıkmasının nedeni de tam olarak budur.

💡

Tanım gereği düz smile

Bachelier fiyat değişimlerini toplamsal olarak ele alır. Smile'ı tanım gereği düzdür. BS terimlerine dönüştürdükten sonra ortaya çıkan skew, model seçiminin bir artefaktıdır, piyasanın bir özelliği değildir.

Denklem İnceleme Aracı

Denklem Gezgini

Spot (S)

$

Kullanım Fiyatı (K)

$

Vadeye Kalan Gün

gün

Risksiz Faiz Oranı

%

Zımni Oynaklık (σ)

%

Call Fiyatı

$8300

Put Fiyatı

$7890

Call Δ

0.555

d₁

0.102

Vega

$114

---

Devam etmeden önce anlayışını test et.

Q: Bachelier neden düz bir smile üretirken Black-Scholes üretmez?

Q: Bachelier opsiyon fiyatlarını alıp BS zımni oynaklığına dönüştürürseniz put skew elde edersiniz. Bu skew nereden gelir?

Q: Kripto için ne zaman Black-Scholes yerine Bachelier kullanırsınız?

Q: ATM yakınında normal oynaklık ile BS oynaklığı arasındaki ilişki nedir?

💡 İpucu: Cevabı açıklamadan önce her soruyu kendin cevaplamaya çalış.

Matematiksel sezgi geliştirmek

Bachelier'i sıfırdan öğreninEtkileşimli ders · ön koşul yok

Bu ders sade bir zihinsel modelle başlar, ardından normal oynaklığı, fiyatlama formülünü ve düz bir normal smile'ın Black-Scholes terimlerine çevrildiğinde neden skew olarak görünebildiğini adım adım anlatır.

---

Ayrıca bakınız:

• Black-Scholes -- Lognormal karşılığı
• CEV Modeli -- Beta parametresi aracılığıyla normal ve lognormal arasında köprü kurar
• SABR Modeli -- Normal-lognormal yelpazesini seçmek için beta kullanır
• Displaced Diffusion -- Sıfıra yakın dayanak varlıkları ele almanın başka bir yolu
• Zımni Oynaklık -- Hangi modeli seçtiğinize bağlı olan kavram
• Skew -- Model artefaktlarını piyasa özelliklerinden ayırmak